ACHILLE E LA TARTARUGA

Uno dei più famosi paradossi dell'infinito potenziale è quello di "Achille e la tartaruga" in cui Zenone di Elea (V secolo a.C.) sembra dimostrare l'impossibilità del moto.
Supponiamo che Achille sia due volte più veloce della tartaruga e che entrambi gareggino lungo un percorso di un metro. Supponiamo inoltre che Achille dia mezzo metro di vantaggio alla tartaruga.
Quando Achille avrà percorso mezzo metro, la tartaruga si troverà più avanti di Achille di un quarto di metro; quando Achille avrà percorso quel quarto, la tartaruga si troverà avanti di un ottavo di metro e così via all'infinito cioè Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Se osserviamo il percorso di Achille troviamo che esso è dato da infiniti tratti che costituiscono la successione
1/2 ; 1/2 + 1/4 = 3/4; 3/4 + 1/8 = 7/8; 7/8 + 1/16 = 15/16; ... ; (2n - 1)/2n
ed è facile osservare che questa successione tende a 1. Vediamo così che una somma di quantità finite in un numero illimitato non è necessariamente finita.
Cosa significa l'espressione "tende a 1"?
Se indichiamo con sn la somma dei primi n tratti percorsi da Achille allora sn, per quanto grande sia n, si avvicina a 1, pur rimanendone sempre minore.
La differenza tra 1 ed sn, per n opportunamente grande, si fa più piccola di un qualsiasi numero per quanto piccolo da noi scelto.